DM nº2 : La série harmonique et la constante d'Euler

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DM nº2 : La série harmonique et la constante d'Euler

Message par valentin.lagard le Mar 12 Sep - 19:08

Bonsoir, je ne vois pas comment démarrer à la première question, je me doute qu'il faut se servir de l'intégrale mais je ne vois pas à quoi elle sert
Merci bonne soirée et à jeudi

valentin.lagard

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Re: DM nº2 : La série harmonique et la constante d'Euler

Message par Prof2Maths le Mar 12 Sep - 22:09

Bonsoir Valentin,

C'est un classique, encore faut-il l'avoir rencontré déjà une fois !
Alors, on part de :
k <= t <= k+1 (càd t compris entre k et k+1).
Ensuite, on passe à l'inverse, ce qui donne :
1/(k+1) <= 1/t <= 1/k
Puis on intègre cette inégalité sur l'intervalle [k, k+1].
Comme on intègre des constantes à gauche et à droite de l'inégalité, facile ! Puis l'intégrale de 1/t au milieu.

A toi !
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Re: DM nº2 : La série harmonique et la constante d'Euler

Message par adaam le Mer 13 Sep - 23:03

Bonsoir,
Concernant la question 4 du DM, les suites an et bn sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre et décroissante et lim(an - bn) = 0 en +infty. Que dois-je faire? Calculer a(n+1) et b(n+1) ne mène à rien...

adaam

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Re: DM nº2 : La série harmonique et la constante d'Euler

Message par Prof2Maths le Jeu 14 Sep - 12:24

Bonjour Adam,
Ta définition est bonne, du coup, il faut :
- montrer qu'une suite est croissante ou décroissante : en étudiant le signe de a(n+1)-an, puis le signe de b(n+1)-bn
- montrer que lim(an - bn) = 0 en +infty.
A tout à l'heure !
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Re: DM nº2 : La série harmonique et la constante d'Euler

Message par yann17 le Jeu 14 Sep - 21:04

Bonsoir,
Je suis également bloqué à la question 4 du DM. J'ai calculé a(n+1) et b(n+1) mais je n'arrive pas à déterminer si les suites au rang n+1 sont supérieurs ou inférieurs aux suites au rang n. Faire la différence ne m'a pas aidé non plus.

yann17

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Re: DM nº2 : La série harmonique et la constante d'Euler

Message par Prof2Maths le Jeu 14 Sep - 23:40

Bonsoir Yann,
Il faut faire la différence, la quantité S(n+1)-Sn se simplifie, puis on utilise la question 1. On obtient (an) décroissante et (bn) croissante.
Bon courage !
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Re: DM nº2 : La série harmonique et la constante d'Euler

Message par valentin.lagard le Ven 15 Sep - 18:09

Bonsoir, j'arrive à démontrer que la suite an est décroissante mais pour celle de bn je suis bloqué... en simplifiant j'obtiens : 1/(n+1) + ln(n+1) - ln(n+2)
J'arrive donc pas à voir comment utiliser la question 1)

valentin.lagard

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Re: DM nº2 : La série harmonique et la constante d'Euler

Message par Prof2Maths le Ven 15 Sep - 18:39

Bonsoir,
On est d'accord sur le résultat.
Il faut encore utiliser la question 1 mais avec k=n+1 cette fois.
A toi !
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Re: DM nº2 : La série harmonique et la constante d'Euler

Message par Rafael A le Sam 16 Sep - 16:23

Bonjour monsieur
Je ne vois pas comment calculer la somme a la question 7

Rafael A

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Re: DM nº2 : La série harmonique et la constante d'Euler

Message par Prof2Maths le Sam 16 Sep - 16:34

Bonjour Rafael,

Ah cette question 7, pas évidente confused ...
Je te propose quelques indices, les voici en image !

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Re: DM nº2 : La série harmonique et la constante d'Euler

Message par Rafael A le Sam 16 Sep - 19:13

En fait j'ai un aitre soucis. Pour la question 6 je suis parti du DL de ln(1-x) mais je viens de me rendre compte que je viens d'ecrire que:
-ln(0)=1+1/2+...+1/n+o(x^(n+1))
Alors que ln(0) n'est pas défini donc je suis bloqué. De plus, je n'arrive pas a voir comment obtenir un gamma dans l'égalité

Merci d'avance

Rafael A

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Re: DM nº2 : La série harmonique et la constante d'Euler

Message par Prof2Maths le Sam 16 Sep - 19:46

Pour la question 6, on utilise le fait que la suite (an) tend vers gamma quand n tend vers +infini.
On peut donc écrire le développement limité suivant : an=gamme + o(1)
Ce qui te permet de revenir à Sn.
Bon courage !
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Re: DM nº2 : La série harmonique et la constante d'Euler

Message par Alexandre B le Lun 18 Sep - 17:51

Bonsoir
Est ce que dans la question 7 il faut remplacer sn par l'expression de la q6 svp, de même pour s2n+1

Alexandre B

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Re: DM nº2 : La série harmonique et la constante d'Euler

Message par Prof2Maths le Lun 18 Sep - 19:23

Bonsoir Alex,
Oui, c'est tout à fait cela, il faut remplacer Sn et S(2n+1) en faisant un développement limité.
Bon courage !
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