DM 20 vacances

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Message par Alexandre B le Mar 20 Fév - 15:16

Bonjour monsieur

A la question I.A.2) j'ai réussi a montrer que F est un SEV de M3(R) mais je ne vois pas vraiment quelle base donner.
A la question I.B.1), j'ai un petit doute avec le signe lors du développement du discriminant entre 2cosa un-1  - un-2 et 2cosa un-1  + un-2
A la question I.C.1.a), a la kiéme ligne on a :  axk-1 - (lambdaxk) + (bxk+1 ) = 0
et après j'ai du mal à voir ce qu'il faut faire, j'aurai utilisé la relation donnée juste au dessus mais je ne vois pas trop quoi dire
Cordialement, Alex.

Alexandre B

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Re: DM 20 vacances

Message par Rafael A le Mer 21 Fév - 15:23

Bonjour monsieur,
J'espère que vos vacances se passent bien,
Je suis bloqué à la question I.A.4)c) je ne vois pas comment faire.
Cordialement
Rafael

Rafael A

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Re: DM 20 vacances

Message par Prof2Maths le Mer 21 Fév - 21:32

Bonsoir,

Désolé pour ces réponses un peu tardives

IA2) : un indice, on peut par exemple écrire M(a,b,c)=a.I3+b.J+c.A3
IA4c) : il faut utiliser la relation obtenue en IA4b) pour montrer que M4 est diagonalisable et trouver les matrices demandées.
IB1) : j'obtiens 2cosa un-1  - un-2
IC1a) : il y a, pour commencer, 3 cas à distinguer : k=1, 1<k<n, k=n. Il faut écrire la kième ligne, on peut alors diviser par xk (non nul, mais il faut le justifier) puis utiliser le fait que, par exemple, abs(x_(k+1)/xk) <=1 ou encore abs(x_(k-1)/xk) <=1 (à justifier) pour arriver au résultat demandé.


Bon courage, bonnes vacances !
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Re: DM 20 vacances

Message par MartinG le Jeu 22 Fév - 21:32

Bonsoir monsieur
Je bloc à la question IB2) pour en déduire que un=sin(n+1)a/sina
Comme la question commence par en déduire on s’attend à quel chose de facile...
Apparement pas pour moi

MartinG

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Re: DM 20 vacances

Message par adaam le Jeu 22 Fév - 22:26

Bonjour Monsieur!
Comment allez-vous? Les vacances se passent bien?
Enfin bref, je voudrais vous poser quelques questions au sujet du DM à faire pour la rentrée:
B.2) Après avoir démontré précédemment qu'on peut écrire une suite récurrente d'ordre 2, on obtient pour (m,p) des réels u_n = m×cos(n×a)+p×sin(n×a), sauf que je n'arrive pas à déterminer m et p, même en prenant u_2 et u_3 comme valeurs initiales.
C.1) Je ne vois pas le lien entre lambda et a+b.
Passez une très bonne suite de vacances!
Bien cordialement,
Adam

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Re: DM 20 vacances

Message par Prof2Maths le Jeu 22 Fév - 23:19

Bonsoir Martin, bonsoir Adam,

Alors :
IB2) : deux possibilités, soit on passe par l'étude d'une suite récurrente d'ordre 2 (avec équation caractéristique, soit on le démontre par une récurrence à deux pas (grâce à la relation précédente obtenue). Tu es sur la bonne voie Adam, reste à trouver tes réels m et p (le plus simple est peut-être de rester en complexe, tout devrait se simplifier à la fin) mais c'est difficile de voir où tu bloques dans ton calcul.

IC1a) : as-tu vu mes indications dans mon message d'hier ? En majorant comme je le propose, on arrive à montrer que abs(lambda)<=a+b, dis moi où tu bloques.

Bonnes vacances Messieurs !
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Re: DM 20 vacances

Message par adaam le Ven 23 Fév - 19:59

Bonjour Monsieur,
Merci pour vos réponses.
Oui, je n'avais pas vu qu'il y avait une question sur la C.1) 😂 Désolé!

Maintenant, je bloque sur la question B.3) :
Quel lien y'a-t-il entre l'expression de u_n et les valeurs propres de A_n? 2×cos(alpha) a l'air d'être une valeur propre de A_n. À moins que l'indication donnée sur X_alpha en démontre le contraire : Sp(A_n) = {sin(alpha), sin(2×alpha), ..., sin(n×alpha)}. Mais en quoi u_n peut nous être utile pour trouver ce résultat?
De plus, à la question suivante on doit faire l'étude d'un sous espace propre tel que pour Z_n=(z_1, z_2, ..., z_n) appartenant à E_(X_alpha), on a A_n×Z_n=(X_alpha)×Z_n, sauf que X_alpha n'est pas un réel mais un vecteur, comment peut-on faire?

Pour la question C.2) Je ne vous cache pas ne pas avoir compris la question. Peut-on déjà écrire que (x_n)_n€N vérifie (R)? ((x_n) est-elle une suite vérifiant (R)?) De plus, quelle valeur peut avoir x_1 car n>1?

Pour les questions C.3) et C.4) Peut-on écrire comme conditions initiales u0=x0=0 et u1=x1 et donc on aura des expressions de u_n en fonction de x1?

Cordialement,
Adam.

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Re: DM 20 vacances

Message par Prof2Maths le Sam 24 Fév - 16:18

Bonjour Adam

Alors :
IB3) : on cherche les racines du polynôme caractéristique donc il faut voir quand est-ce que un s'annule. Cela va dépendre des valeurs de alpha.
IB4) : Une fois que tu auras les bonnes valeurs de alpha, tu pourras utiliser les vecteurs X_alpha proposés, il suffira de calculer A_n*X_alpha pour démontrer qu'on a un vecteur propre.
IC2) : il faut traiter cette question en deux temps : implication, puis réciproque. Dis moi plus précisément où tu bloques.
IC3) et IC4) : pour quelles questions précisément ? Il faut utiliser l'équation caractéristique de l'équation.

Courage !
Je reste pas loin si besoin !
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Re: DM 20 vacances

Message par adaam le Sam 24 Fév - 18:06

Bonjour,
Merci pour vos réponses.
B3) On trouve des racines dépendantes de n donc elles changent par rapport à n.
B4) On ne doit pas prouver qu'il existe un vecteur propre, on doit déterminer les sous espaces propres, non?
C2) En fait je n'ai pas compris la question, je ne vois pas le lien avec l'équation CX=0, les termes x_0 et x_n+1 et la propriété (R), il m'est difficile de comprendre ce qu'il faut montrer.
C3) et C4) Je parle de la question a), on a u_n=m×r1^n+p×r2^n et u_n=(m+p×n)×r0^n sauf qu'il faut des conditions initiales pour trouver m et p, si on prend comme conditions initiales x0 et x1, on ne connait pas x1 donc on aura des expressions de u_n en fonction de x1. De plus, x0,...,x_n+1 forment-il une suite vérifiant (R)?

Difficile ce CCS, il m'en faudra du courage pour affronter ça en avril 😁

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Re: DM 20 vacances

Message par Prof2Maths le Lun 26 Fév - 14:44

Bonjour Adam,

IB3) : oui, elle dépendent de n, mais n est fixé.
IB4) : On arrive à montrer qu'il y a n valeurs propres distinctes (spoil de la question précédente Laughing ) donc si tu trouves un vecteur propre pour une valeur propre donnée, tu as tout le sous-espace propre.
IC2) : Pour l'implication, on suppose CX=0 (on écrit ce que cela donne ligne à ligne) et on arrive à montrer que, alors, x_0,...,x_n+1 sont les n+2 premiers termes d'une suite vérifiant R, dis moi où tu bloques. Il faut vraiment l'écrire, cela fonctionne bien.
IC3a): on te demande l'ensemble des solutions, il n'est pas attendu que tu trouves les constantes que tu cites.

Bon courage !
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