Dm 6 spécial 5/2

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Dm 6 spécial 5/2

Message par valentin.lagard le Mar 9 Oct - 20:41

Bonsoir,
Je voulais savoir comment démontrer à la question 6.c) que Im f = Im g, je vois pas trop si je dois partir vers la définition en prenant un vecteur qui appartient à im f et montrer qu'il appartient aussi à im g ou je dois passer par un autre chemin ? Neutral
Bonne fin de soirée, merci et à demain
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Re: Dm 6 spécial 5/2

Message par Prof2Maths le Mar 9 Oct - 20:46

Bonsoir Valentin,

J'attendais impatiemment une question Cool
Alors :
* 6c) : on va procéder par double inclusion, il faut montrer que Im(f) est inclus dans Im(g) puis réciproquement. Un indice : utiliser les relations (1), (2) et (3) appliquées aux endomorphismes.

Bon courage !
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Re: Dm 6 spécial 5/2

Message par valentin.lagard le Ven 12 Oct - 13:41

Re bonjour !
Je voulais savoir pourquoi à LA question Cool que si rg(A^2)=rg(A) ça revient à montrer que ça implique que Ker(fof)=Ker(f)
Merci
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valentin.lagard

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Re: Dm 6 spécial 5/2

Message par Prof2Maths le Ven 12 Oct - 14:03

Oui, tout à fait, puisque, on peut montrer que Ker(f) est inclus dans Ker(f^2).
Si tu as l'égalité sur les rangs, tu as l'égalité sur les dimensions des noyaux (théorème du rang) donc tu as l'égalité des noyaux (car inclusion et même dimension donc égalité).

Bon courage !
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Re: Dm 6 spécial 5/2

Message par adaam le Dim 14 Oct - 14:49

Bonjour Monsieur,
Et du coup pour la réciproque de la proposition de Valentin? Pourquoi A admet un pseudo inverse implique que rg(A)=rg(A^2)?
Merci et bon weekend !


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Re: Dm 6 spécial 5/2

Message par Prof2Maths le Mar 16 Oct - 9:17

Bonjour Adam,

Je viens de recevoir (hier soir 22:28 la notification de ton message, voir la capture d'écran...) donc un peu tardivement...

Il faut montrer que E = Im(f) somme_directe Ker(f) ssi rg(A)=rg(A^2)
Pour l'implication, on montre que Im(f)=Im(f^2)
Pour la réciproque, on montre que l'intersection de Im(f) et Ker(f) est réduit à 0_E et le théorème du rang nous permet de conclure.

A cet après-midi !


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