DM n°6 sous espace vectoriel

Bonjour monsieur
Pour démonter à la question 1 que E = F + G, faut il raisonner par analyse/synthèse?
Si non, comment faire ?

Bonjour Quentin,

Le raisonnement par analyse/synthèse fonctionne très bien ici.

Sinon, deux autres méthodes (à vous de choisir) :
* prendre un polynôme P dans E, réaliser la division euclidienne par (X-1)^2 pour trouver une décomposition qui convient
* utiliser le fait que (1, X-1, (X-1)^2, (X-1)^3) est une base de E (à justifier !) pour trouver cette décomposition que l'on recherche.

Bon travail !

Merci beaucoup

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A la Q3 j'ai trouver une Mat avec un bloc 2x2 de 0 en bas à gauche
J'en ai déduit que ker(phi)=(1,X) dans la basse e3, e4 (de la basse canonique de E)
Et Im(phi)=(1,X,X^2,X^3) dans e1,e2,e3,e4
Cependant j'ai l'impression que cette réponse ne veut pas dire grand choses ou n'est pas claire... qu'en pensez vous ?

Dire que Rg(Mat(phi))= 4 et donc que Mat(phi) est inversible est-il suffisant pour dire que Phi est un automorphisme?

Merci

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Bonsoir Quentin,

tu évoques la question 4a) ? Je suis d'accord pour le bloc de 0 en bas à gauche mais cela ne te permet pas de donner Ker(phi) de suite, il faut résoudre MX=0 (où M est la matrice de phi dans le base canonique, X est un vecteur colonne).
Tu pourras alors en déduire si phi est un automorphisme (à condition que ker(phi) soit réduit au vecteur nul), puis le rang de phi pour enfin donner une base de Im(phi).

Attention, les espaces Im(phi) et Ker(phi) que tu proposes ne vérifient pas le théorème du rang.

N'hésite pas si ce n'est pas clair ou si tu bloques.

Bon courage !