DM 3 série harmonique

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DM 3 série harmonique

Message par Pierre-Henri le Sam 17 Sep - 14:20

Bon bon dans la Q 5 on sait que an et bn sont adjacentes et qu elles tendent vers la même limite , mais je ne vois pas comment on a y>0 et comment le démontrer
De plus dans la 6 on doit utiliser les développements limités ou les sommes ??

Pierre-Henri

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Re: DM 3 série harmonique

Message par Prof2Maths le Sam 17 Sep - 15:47

Bon bon bonjour Pierre-Henri !
5) On sait que (bn) est croissante et tend vers gamma donc pour tout n, bn <= gamma (on a un minorant de gamma), tu peux calculer les premiers termes de (bn) pour voir.
6) Je ne comprends pas ta question, un indice : si (an) tend vers gamma, alors on peut écrire que an=gamme +o(1) quand n tend vers l'infini.
Bon courage !
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Re: DM 3 série harmonique

Message par HERTalex le Dim 18 Sep - 18:32

Bonsoir,
Une petite question, à la question sept, je ne suis pas parvenu à trouver un résultat cohérent, j'ai essayé le changement de variable k'=2k+1 mais je ne crois pas avoir le droit de le poser

Une indication svp

Bonne soirée

HERTalex

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Re: DM 3 série harmonique

Message par agallier le Dim 18 Sep - 19:30

Je suis bloquer au même stade qu'Alexis pour la même raison... Sad

agallier

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Re: DM 3 série harmonique

Message par etheder le Dim 18 Sep - 19:45

Bonjours je ne comprend pas la question 4 et 7

Théodore
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Re: DM 3 série harmonique

Message par Prof2Maths le Dim 18 Sep - 20:06

Bonsoir Alexis et Antoine,

Bravo pour être arrivé jusque là !

Alors pour calculer la somme demandée à la question 7 (c'est un peu technique) :
- il faut décomposer 1/(k(2k+1)) en éléments simples, càd sous la forme a/k + b/(2k+1).
- Ensuite, on raisonne sur les sommes partielles, on va faire apparaître la somme (k=1 à n) 1/(2k+1).
Il s'agit des termes d'indices impairs de la somme (k=1 à 2n+1) 1/k.
Cette somme est alors égale à la somme (k=1 à 2n+1) 1/k moins la somme des termes d'indices pairs.
On fait alors apparaître S_(2n+1) et Sn, on utilise ensuite le développement limité trouvé à la question 6.

Courage, vous êtes presque au bout ! bounce
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Re: DM 3 série harmonique

Message par Prof2Maths le Dim 18 Sep - 20:08

Bonsoir Théodore,

Peux-tu me dire précisément où tu bloques à la question 4 ?

Bonne soirée
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Re: DM 3 série harmonique

Message par HERTalex le Lun 19 Sep - 14:42

Bonjour,
Du coup, si j'ai bien compris, ca veut dire qu'on décompose la somme de (k=1 à n) 1/(2k+1) en la somme de (k=1 à 2n+1) de 1/k moins la somme de (k=1 à 2n) de 1/k ?


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Re: DM 3 série harmonique

Message par Prof2Maths le Lun 19 Sep - 16:51

Bonjour Alexis,

Alors, c'est presque ça !
Le premier terme de la somme de (k=1 à n) 1/(2k+1) est 1/3.
Alors que le premier terme de la (k=1 à 2n+1) de 1/k est 1/1.
Donc il faut rectifier légèrement.

Courage !
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Re: DM 3 série harmonique

Message par HERTalex le Lun 19 Sep - 17:28

Est ce que je dois sortir les premiers termes de la somme ou alors refaire un changement de variable ? Si je sors les deux premiers termes de la somme de (k=1 à n) je pourrais simplifier les sommes non ?

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Re: DM 3 série harmonique

Message par Prof2Maths le Lun 19 Sep - 17:39

Tu peux démarrer ta somme à 1 puis retirer 1 en fin d'égalité.
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Re: DM 3 série harmonique

Message par HERTalex le Lun 19 Sep - 17:41

Mais elle commence déjà à 1 pourtant ?

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Re: DM 3 série harmonique

Message par Prof2Maths le Lun 19 Sep - 17:49

Elle commence à 1/3.
On récapitule :
somme(k=1 à n) 1/(2k+1) = somme(k=1 à 2n+1) 1/k - somme(k=1 à n) 1/2k - 1

C'est bon ? N'hésites pas sinon.
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Re: DM 3 série harmonique

Message par HERTalex le Lun 19 Sep - 18:00

C'est pas somme (k=1 à n) 1/(2k+1) = somme (k=1 à 2n+1) 1/k moins somme (k=1 à n) 1/2k+1 ?

Euh, pour être certain, une fois que j'ai écris votre égalité du message précédent, je dois sortir les premiers termes de la somme (k=1 à n) 1/k mais après je vois pas bien comment simplifier ces sommes là vu qu'elles n'ont pas la même expression ...

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Re: DM 3 série harmonique

Message par Prof2Maths le Lun 19 Sep - 18:04

Non, je te confirme mon égalité, écris les premiers termes pour voir.

Ensuite, la première somme obtenue, c'est S_(2n+1).
La deuxième, c'est 1/2 * S_n
Puis il reste -1.
Enfin, on utilise un développement limité de S_(2n+1) et S_n grâce à la question précédente.
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Re: DM 3 série harmonique

Message par HERTalex le Lun 19 Sep - 18:23

Ah je vois, je crois que c'est bon, merci Smile

Bonne soirée

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Re: DM 3 série harmonique

Message par etheder le Lun 19 Sep - 19:58

Pour la question 4 pour moi deux serie sont adjacentes si une décrois et l'autre est croissant alors que pour moi an et bn sont croissante
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Re: DM 3 série harmonique

Message par Prof2Maths le Lun 19 Sep - 20:12

Bonsoir Théodore,
(an) est décroissante, il faut étudier le signe de a_(n+1)-an
Bon courage.
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Re: DM 3 série harmonique

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