DM 7 endomorphisme

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DM 7 endomorphisme

Message par Paul S le Mar 11 Oct - 19:15

Bonsoir monsieur je bloque à la question 4.b pour déterminer Im(phi). Pour le noyau j'ai poser MX=0 et j'ai trouve un vecteur mais Im j'ai le doute, vu que je connais le noyau de phi est ce que je peux prendre 3 vecteurs non colinéaires ou pas ?
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Paul S

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Re: DM 7 endomorphisme

Message par Paul S le Mar 11 Oct - 19:19

Pour la 1 le demi de E=F+G j'ai poser un P € E et je l'écrit sous la forme P= Q(€F) + R(€R) mais après en fais je ne vois pas comment démarrer
J'ai écrit P(1) et P´(1) avec l'égalité derrière et ailleurs j'ai écrit P= X+ (X-1)^2 mais après je ne vois pas comment partir
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Re: DM 7 endomorphisme

Message par HERTalex le Mar 11 Oct - 19:50

Bonsoir,
J'ai une petite question sur la 4.e, pour déterminer la matrice B, j'ai calculé Phi(P2) et Phi(P3), mais pour l'exprimer dans la base (P2,P3), je n'arrive pas à donner Phi(P3) en fonction de P3 sachant de P3=X**3 - 2X**2 + X

Est ce le bon raisonnement ?

HERTalex

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Re: DM 7 endomorphisme

Message par Prof2Maths le Mar 11 Oct - 20:42

Bonsoir Paul,

Question 4(b) : une fois qu'on a déterminé le noyau, on a la dimension de l'espace image. On peut alors utiliser la matrice pour trouver trois vecteurs qui sont dans l'image et qui constituent une famille libre et donc une base de Im(phi).

Question 1 : En utilisant le raisonnement par analyse / synthèse : on pose un P € E et on l'écrit sous la forme P= Q(€F) + R(€G).
Du coup, en utilisant les propriétés caractéristiques de F et G, on va réussir à déterminer Q en fonction de P. PuisR=P-Q=.... Enfin, on fait la synthèse.

Bon courage !
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Re: DM 7 endomorphisme

Message par Prof2Maths le Mar 11 Oct - 20:46

Bonsoir Alexis !
Je suis d'accord avec ton P3.
Il faut ensuite calculer phi(P2) et phi(P3) comme tu le proposes.
Je trouver phi(P3)=-5P2+9P3 après avoir factorisé comme il fallait (càd faire apparaître les (X-1)^2 et X(X-1)^2).
reprends ton calcul.
Bon courage !
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Re: DM 7 endomorphisme

Message par zelloufi le Jeu 13 Oct - 20:52






Bonsoir monsieur,
Pour la question 1 je n'arrive pas à exprimer Q en fonction de P
moi j'ai posé Q(X)=aX+b vous auriez une indication s'il vous plaît ?
merci d'avance

zelloufi

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Re: DM 7 endomorphisme

Message par Prof2Maths le Ven 14 Oct - 7:06

Si tu as posé P=Q+R, il faut maintenant utiliser le fait que R(1)=0 et R'(1)=0, cela te permet d'en déduire Q en fonction de P.
Courage !
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Re: DM 7 endomorphisme

Message par agallier le Ven 14 Oct - 21:32

Bonsoir monsieur , pour la question 2) il s'agit juste de trouver une expression de Po et P1 pour laquel cela fonctionne où doit-on montrer que la famille (Po,P1) est libre et génératrice ?

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Re: DM 7 endomorphisme

Message par Prof2Maths le Ven 14 Oct - 23:16

Bonsoir Antoine,
On peut simplement faire appel à la base canonique de R1[X], sans justifier.
Bon courage !
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Re: DM 7 endomorphisme

Message par agallier le Sam 15 Oct - 12:24

Ah d'accord ! Tous simplement alors .. Merci

agallier

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Re: DM 7 endomorphisme

Message par zelloufi le Sam 15 Oct - 13:29

Bonjour monsieur,

Pour la matrice de phi ecrit en colonne vous trouvez M=((1,-1,0,0), (-2,2,0,0), (-1,5,2,0), (-1,7,-9,3)), ? Ensuite aux questions 4d et 4e je trouve A=((-1,1), (-1,0)) B=((2,0), (1,2)) est-ce que c'est le bon résultat?
Merci d'avance

zelloufi

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Re: DM 7 endomorphisme

Message par Prof2Maths le Sam 15 Oct - 14:07

Bonjour Jaouad,
Pas tout à fait ça, tu as 3 coefficients faux. Je te donne la matrice qu'on obtient, donc, en colonne :
M=[[-1,1,0,0],[-2,2,0,0],[1,-5,4,0],[-1,7,-15,9]]
Je pense que tu as dû faire des petites erreurs de calcul en développant, n'hésite pas à reposter si tu n'arrives pas à te corriger.
Bon courage !
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Re: DM 7 endomorphisme

Message par zelloufi le Sam 15 Oct - 15:38

Oui j'ai trouvé mon erreur merci, mais pour le calcul de phi (P3) je ne trouve pas la même chose que vous, je suis pas sûr d'avoir bien exprimé phi (3) on a bien phi (P3 )=(X-1) + (X-1)P3' + (X-1)^2 P3" ?

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Re: DM 7 endomorphisme

Message par Prof2Maths le Sam 15 Oct - 15:55

Je précise que c'est la matrice que j'obtiens à la question 4(a) donc les deux dernières colonnes sont phi(X^2) et phi(X^3) dans la base canonique de E.
Pour phi(P3), j'obtiens : phi(P3)=-5P2 + 9P3
Pour les questions 4d) et 4e), je n'obtiens pas les mêmes expressions que toi : il faut exprimer à chaque fois phi(P0), phi(P1) en fonction de P0,P1 pour obtenir la matrice A.
Puis exprimer phi(P2), phi(P3) en fonction de P2,P3 pour obtenir la matrice B.
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Re: DM 7 endomorphisme

Message par zelloufi le Sam 15 Oct - 16:15

D'accord j'ai trouvé la matrice A mais pour la matrice B je n'arrive pas à trouver la même chose que vous pour phi(P3) moi j'ai
Phi(P3)=(X-1)+7 (X-1)^3 +4X (X-1)^2

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Re: DM 7 endomorphisme

Message par Prof2Maths le Sam 15 Oct - 16:52

Non, on ne trouve pas la même chose.
Pour commencer, ton X-1 vient-il de (X-1)P3(1) ? Car P3(1)=0 donc ce terme ne devrait plus apparaître.
Ensuite , ma première ligne de calcul donne :
phi(P3)=(X-1)[(X-1)^2+2X(X-1)]+(6X-4)(X-1)^2 puis il faut essayer de l'exprimer en fonction de P2 et P3.
Courage !
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Re: DM 7 endomorphisme

Message par zelloufi le Sam 15 Oct - 17:06

Oui j'ai pu trouver merci, à la question 4f on doit obtenir la même matrice qu'on a trouvé à la question 4a?

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Re: DM 7 endomorphisme

Message par zelloufi le Sam 15 Oct - 17:11

Et puis à la question 4b le résultat à trouver est x=y=z=t=0 pour ker (phi) ?

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Re: DM 7 endomorphisme

Message par Prof2Maths le Sam 15 Oct - 17:13

Non, on n'obtient pas la même matrice puisqu'on a changé de base.
Je ne trouve pas ça pour Ker(phi) mais x=-2y, à traduire ensuite en polynôme.
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Re: DM 7 endomorphisme

Message par zelloufi le Sam 15 Oct - 17:37

D'accord merci monsieur

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Re: DM 7 endomorphisme

Message par agallier le Sam 15 Oct - 18:57

Bonjour monsieur , pour déterminer si phi est un automorphisme peut-on calculer le determinant de la matrice phi , et si det(phi) est different de 0, alors phi est un automorphisme ?

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Re: DM 7 endomorphisme

Message par zelloufi le Sam 15 Oct - 19:39

Antoine je pense qu'il faut que tu montre que phi est une aplication linéaire et que phi est bijective, application linéaire tu l'as démontré à la question 4a donc il faut juste que tu montre que c'est bijective et comme t'es en dimension finie t'as injective <=>bijective <=>surjective donc il suffit de montre une des trois proposition

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Re: DM 7 endomorphisme

Message par agallier le Sam 15 Oct - 20:07

Oui mais je voulais éviter de passer par là aha justement .. Merci quand même ..

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Re: DM 7 endomorphisme

Message par agallier le Sam 15 Oct - 20:08

Et si quelqu'un à une idée pour la derniere question je suis preneur :/

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Re: DM 7 endomorphisme

Message par zelloufi le Sam 15 Oct - 20:22

Ah ok. Dans la dernière question il faut que t'exprime dans une matrice phi (P0), phi (P1), phi (P2), phi (P3) en fonction de P0 P1 P2 P3

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