DM numero 14

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DM numero 14

Message par Alexandre B le Mar 20 Déc - 18:21

Bonjour monsieur, comment allez vous?

Pour la question e,ii) je ne vois pas comment utiliser la i pour justifier que la matrice est diagonalisable (sauf si la somme de matrice diagonalisable est diagonalisable)

Merci d'avance, bonnes vacances

Alexandre B

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Re: DM numero 14

Message par Prof2Maths le Mar 20 Déc - 18:27

Bonjour Alex,

Ma foi (mon foie), ça va pour le moment, les festivités n'ayant pas encore démarrées.

Bravo, tu lances les hostilités sur le forum, puisses-tu être suivi par d'innombrables autres posts pour ce DM !

Alors :
* Question 1. e ii) : Attention : la somme de matrices diagonalisables n'est pas nécessairement diagonalisable. En revanche, tu as montré que J est diagonalisable, tu vas pouvoir utiliser le même changement de base pour J^2 et I_3 (car, si J=PDP^{-1}, alors J^2=PD^2P^{-1}.

Bon courage ;-)
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Re: DM numero 14

Message par Alexandre B le Jeu 22 Déc - 15:36

Mais du coup j'ai écris A(a,b,c)= aP.P(^-1) + bPDP-1 + c PD²P-1 mais est ce que dans les matrices j'ai le droit de mettre P P-1 en facteur tel que :

A(a,b,c) P(aI3 + bD + cD²)P-1 ?

Merci bien

Alexandre B

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Re: DM numero 14

Message par Prof2Maths le Ven 23 Déc - 9:04

C'est parfaitement ça, bravo !
Tu factorises à gauche par P, à droite par P-1.
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Re: DM numero 14

Message par agallier le Sam 24 Déc - 13:32

Bonjour à tous et bonnes fêtes !!
Pour ma part je bloque à la question 1 e)i) , je n'arrive pas à donner l'expression de A(a,b,c) en fonction de I3 , J et J**2 ...
Le produit matriciel de J avec J**2 donne l'identité donc I3 * J * J**2 = I3 ce qui ne m'avance pas ..
Merci d'avance et buvez pas trop Very Happy

agallier

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Re: DM numero 14

Message par Prof2Maths le Sam 24 Déc - 15:21

Bonjour Antoine, joyeux Noël à tous santa

La matrice A appartient à Vect(I_3, J, J**2), c'est-à-dire qu'il existe des coefficients alpha, beta, gamma tels que :
A = alpha*I_3 + beta*J + gamma*J**2

A toi de reconnaître ces coefficients (un premier indice : alpha = a)

Bonnes fêtes rendeer
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Re: DM numero 14

Message par Paul S le Lun 26 Déc - 16:03

Bonjour monsieur,
Pour la matrice J, le P-1 on le donne direct nan ?
Je bloque ensuite pour la dimension de E à la Ifii) je ne vois pas trop comment partir, j'ai pense à utiliser les valeurs propres mais pas sur de mon coup
Pour la 2b je bloque à trouver u(xw) en fonction de w et xw, je connais le résultat mais je n'arrive pas à la trouver : j'ai trouver que u(xw) = Somme de k de 1 à n de w^k-1 * ek-1 j'ai pense ensuite à faire un changement de variable mais je suis bloque pour les bornes de la somme puisque j'ai k qui va de 0 à n-1 et du coup je ne peux pas faire apparaître xw
Enfin, pour montrer que y est diagonalisable j'utilise le fait que w est racine nième mais pour moi w reste identique à chaque fois et donc si U diagonalisable on devrais avoir U=w*In ce qui me paraît bizarre,
C'est pourquoi j'en appelle à votre savoir pour le débloquer de tous ces petits problèmes
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Re: DM numero 14

Message par Alexandre B le Lun 26 Déc - 17:49

PAreil que paul, je bloque a la 2b, voici ce que j'ai fais :

xw=e1 + Σw(^'k-1)ek de k=2 a n

Ensuite j'ai appliqué u(xw) et en développant plus changement d'indice j'arrive à :

u(xw)= en + Σw^k.ek de k=1 a n-1

Et je bloque içi

Merci bien, bonnes vacances

Alexandre B

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Re: DM numero 14

Message par Paul S le Lun 26 Déc - 18:20

Alexandre j'ai la réponse c'est bon, ton truc est bon, tu sais que w est racine nième donc w^n =1 donc du coup devant ta somme ta w^n * en et tu peux le rentrer dans la somme et après ça viens tout seul
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Re: DM numero 14

Message par Prof2Maths le Lun 26 Déc - 20:07

Bonsoir,

* Question 1 d) : pour la matrice P^{-1}, vous pouvez vous entraîner à la calculer "à la main", il faut prendre les bonnes habitudes dès maintenant Laughing Mais si vous lisez bien, on demande P mais pas P^{-1}
* Question 2 b) : il faut montrer que u(x_w)=w*x_w, pour cela, lors du calcul, il faudra effectivement utiliser que w^n=1 car w est une racine n-ième de l'unité.
* Question 2 c) : pour montrer que u est diagonalisable, tu viens de montrer que w est une valeur propre de u mais combien y a-t-il de racines n-ièmes de l'unité ?

Courage !
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Re: DM numero 14

Message par Paul S le Lun 26 Déc - 21:02

Il y en a n mais le problème c'est que je ne vois pas comment le justifier proprement car pour du coup U est semblable à In vu que w est racine nième
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Re: DM numero 14

Message par Prof2Maths le Mar 27 Déc - 9:06

Il y a donc n valeurs propres distinctes dans un EV de dimension n.
C'est bon ?
U n'est pas semblable à In.
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Re: DM numero 14

Message par Paul S le Mar 27 Déc - 11:35

Oui ok je vois merci
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Re: DM numero 14

Message par Alexandre B le Mar 27 Déc - 17:32

Mais donc une base de vecteur propres pour u ça serait Vect(w,w²,....w^n) ?

Alexandre B

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Re: DM numero 14

Message par Prof2Maths le Mar 27 Déc - 17:39

Bonjour Alexandre,
Non, ce n'est pas ce vecteur.
On a montré à la question 2(b) que w était une valeur propre et au passage, on a gagné un vecteur propre associé.
Ensuite, on sait qu'il y a n racines n-ième de l'unité.
Bon courage.
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Re: DM numero 14

Message par Alexandre B le Mar 27 Déc - 17:58

Bonjour monsieur, dans ce cas on aurait vect(xw,xw²,....,xw^n) ?

Merci bon courage à vous aussi

Alexandre B

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Re: DM numero 14

Message par Prof2Maths le Mar 27 Déc - 18:37

Merci Laughing

Oui, c'est tout à fait ça à condition de bien définir w.

Comment définis-tu w dans ta réponse ?
Par exemple, si w=1, cela ne convient pas.

En revanche, il ne faut pas mettre un vect(...) car il s'agit de la famille de vecteurs (et le vect d'une base, c'est E tout entier).
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Re: DM numero 14

Message par Paul S le Mar 27 Déc - 18:54

Monsieur pour dimE comment fais t'on ? Pour moi E est de dimension 9 comme M3(C) mais je ne vois pas comment le prouver, je pensais montrer que E=M3 mais j'ai beau le creuser la tête rien ne sort
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Re: DM numero 14

Message par Prof2Maths le Mar 27 Déc - 20:52

Bonsoir Paul,
E n'est pas de dimension 9, car sinon, comme c'est un sous-espace vectoriel de M3(C), alors E=M3(C).
Le plus simple pour trouver sa dimension, c'est d'exhiber une base (c'est comme ça qu'on dit Cool ).
Peux-tu donner une base de E ?
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Re: DM numero 14

Message par sam1996 le Mer 28 Déc - 18:31

Bonsoir, pour la question e.iv) je pensais calculer P(aI3+bJ+cJ^2)P^-1 et ensuite faire le déterminant, mais n'y aurait il pas une méthode plus rapide ?
Et est ce que vous auriez un énoncé pour le DM d'informatique svp ? Merci

sam1996

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Re: DM numero 14

Message par Prof2Maths le Mer 28 Déc - 20:36

Bonsoir Sam,
Pour le déterminant, à la question précédente, tu as déterminé les valeurs propres de A(a,b,c).
Vois-tu le lien avec le déterminant ?

Pour le DM d'informatique, je le renvoie à tout le monde par mail.
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Re: DM numero 14

Message par etheder le Ven 30 Déc - 10:14

Bonjours je comprend pas la question I D car pour moi je trouve comme spectre juste 1 et non 1 j et jbarre
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Re: DM numero 14

Message par Prof2Maths le Ven 30 Déc - 10:21

Bonjour Théodore,
1 est la seule valeur propre réelle mais il y a des valeurs propres complexes.
Si tu as trouvé (X-1)**3 pour polynôme caractéristique, tu as fait une erreur de calcul.
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Re: DM numero 14

Message par etheder le Ven 30 Déc - 18:07

je vois pas comment faire apparaître j et j barre
car pour moi ca veut dire qu'on a 3 racine différente donc que la matrice et diagonalisable
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Re: DM numero 14

Message par Prof2Maths le Ven 30 Déc - 18:17

Théodore,
Peux-tu donner le polynôme caractéristique que tu obtiens ?
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