Dm 6 spécial 5/2

Bonsoir,
Je voulais savoir comment démontrer à la question 6.c) que Im f = Im g, je vois pas trop si je dois partir vers la définition en prenant un vecteur qui appartient à im f et montrer qu'il appartient aussi à im g ou je dois passer par un autre chemin ?
Bonne fin de soirée, merci et à demain

Bonsoir Valentin,

J'attendais impatiemment une question
Alors :
* 6c) : on va procéder par double inclusion, il faut montrer que Im(f) est inclus dans Im(g) puis réciproquement. Un indice : utiliser les relations (1), (2) et (3) appliquées aux endomorphismes.

Bon courage !

Re bonjour !
Je voulais savoir pourquoi à LA question que si rg(A^2)=rg(A) ça revient à montrer que ça implique que Ker(fof)=Ker(f)
Merci

Oui, tout à fait, puisque, on peut montrer que Ker(f) est inclus dans Ker(f^2).
Si tu as l'égalité sur les rangs, tu as l'égalité sur les dimensions des noyaux (théorème du rang) donc tu as l'égalité des noyaux (car inclusion et même dimension donc égalité).

Bon courage !

Bonjour Monsieur,
Et du coup pour la réciproque de la proposition de Valentin? Pourquoi A admet un pseudo inverse implique que rg(A)=rg(A^2)?
Merci et bon weekend !

Bonjour Adam,

Je viens de recevoir (hier soir 22:28 la notification de ton message, voir la capture d'écran...) donc un peu tardivement...

Il faut montrer que E = Im(f) somme_directe Ker(f) ssi rg(A)=rg(A^2)
Pour l'implication, on montre que Im(f)=Im(f^2)
Pour la réciproque, on montre que l'intersection de Im(f) et Ker(f) est réduit à 0_E et le théorème du rang nous permet de conclure.

A cet après-midi !