Td complément algèbre linéaire ( Dm 1 2014-2015 )

Bonsoir,
J’ai commencé à attaquer le sujet sauf que je ne vois pas comment démontrer à la question 1) de la partie II l’unicite Du polynôme... même avec l’indication
Bonne soirée

Bonjour Valentin,
C'est la question la plus difficile du sujet !
Il faut montrer que phi est un isomorphisme, car, étant donnée une suite u dans Ea, le polynôme P va vérifier les égalités suivantes :
Pour tout entier n compris entre 0 et p : P(n) = u_(n+1) - a*u_n
Donc les p+1 premières valeurs de P seront données par ces relations, donc le polynôme P est unique.
N'hésite pas si ce n'est pas clair, bon travail !

Bonjour,
Pour cette première question je ne vois pas du tout en quoi le fait que les p+1 relation sur P montre son unicité
Ensuite, pour la question 3) je ne vois pas trop comment montrer que thêta(u)=Pu est une application linéaire de Ea(p) dans Rp[x]
Merci d’avance pour la réponse à toute ces questions ^^’

Re-bonjour Valentin,

* PII-1) : Si phi est un isomorphisme, alors il existera un unique pôlynome P dans R_p[X] qui va prendre les (p+1) valeurs (P(0), ..., P(p)), c'est-à-dire que pour tout élément de R^(p+1), il va exister un unique antécédent dans R_p[X]. Si ce n'est pas clair, je t'expliquerai lundi avec un tableau

* PII-3) : il faut montrer la linéarité donc prendre deux suites u et v dans Ea (traduire ce que cela veut dire), un scalaire lambda et montrer que
theta(lambda*u+v) = lambda*theta(u) = theta(v). Pour cela, utilise les relations sur u et v pour trouver P_(lambda*u+v).

Courage !