DM8 Centrale 2000

Bonsoir Monsieur,
Pour faire suite à mes questions de jeudi sur le DM,

II.C.5) J'ai trouvé l'astuce :
exp(-x) - (1-x/n)^n = exp(-x)(1 - exp(x)(1-x/n)^n)
On peut à partir de là utiliser l'inégalité de la question II.C.3 puis celle de la question II.C.4.

II.C.5) Par contre pour trouver l'expression donnée de gamma, je comprends pas comment faire, on doit sûrement utiliser l'expression de u_n (question II.B) mais toutes mes tentatives ne fonctionnent pas.

III.F) Toujours ce fameux gamma... Je ne comprends pas l'expression et le lien avec l'étude précédente

Merci d'avance Bonne soirée

Bonsoir Adam,

Désolé pour la réponse tardive...alors :
* II.D : il faut utiliser l'expression de u_n obtenue en II.B, puis, pour réaliser l'encadrement, il faut partir d'un encadrement de (1-x/n)**n obtenu à partir de II.C.2 et II.C.5. On pourra alors intégrer et faire ensuite tendre n vers +infini.
* III.F : On sait que (v_n) converge vers gamma donc on part de l'expression obtenue à la question précédente, on découpe en deux intégrales convergentes et on montre que la seconde tend vers 0 (on utilisera le fait que phi est bornée sur R+).

Bon courage, n'hésite pas si tu as d'autres questions !

Bonsoir monsieur,
Je voulais savoir à la question C-1) de la partie deux, comment démontrer correctement que 1+x<=exp(x). En passant par le développement en série entière car dans le corrigé, il passe par le fait que la courbe de la fonction exp(x), convexe, passe au dessus de sa tangente y=1+x.
Merci d'avance, bonne fin de soirée et à demain

Bonsoir Valentin,
Il faut procéder par une étude de fonction : on définit la fonction qui à x associe exp(x)-(x+1), on trace son tableau de variation qui nous permet de déterminer son signe, on montre alors que cette fonction est toujours positive d'où le résultat.
Bonne soirée !