Devoir maison n°14

Bonjour Monsieur
A la question 3 de la partie 1, la matrice Mn est censé être une matrice colonne se taille n (image de X^n par f dans la basse canonique) ou une matrice carré de taille n ( image des vecteurs de la basse canonique par f dans cette basse) ?
Merci

Bonjour Quentin,

La matrice est composée des images par fn des vecteurs de la base canonique de Rn[X] dans cette même base.

Bon courage !

bonjour


question 5 parti 1 , comment a partir du spectre de fn on trouve le noyaux et rg?

c'est la question du dm mais une indications serais la bienvenu merci

Bonjour Maxime,

Si tu as identifié le spectre, tu es en mesure de dire si 0 est valeur propre ou non, cela te donnera un renseignement sur le noyau de fn et par conséquent son rang.

N'hésitez pas si vous bloquez encore.

Bon réveillon !

Bonjour
A la question 2a de la partie je ne vois pas comment on peut montrer le résultat j'ai fait une intégration par partie mais je n'ai pas l'impression que ça donne ce que l'on veut et pour la 2b peut on utiliser que le produit scalaire est symétrique et que P joue le rôle de Q et que Q joue le rôle de P ?

merci d'avance et bonne année !

Salut Charlotte,

2a - L'intégration par partie fonctionne très bien, à condition définir correctement les fonctions u et v'. Je te propose de séparer < f(P), Q > en deux l'intégrales, puis d'effectuer une IPP sur la deuxième intégrale (où apparaît P") avec ses fonctions :
  u = (t^2 - t - 2)Q(t).    u' = ?
  v' = P''(t).                    v = ?
Tu verras, tout va bien se simplifier ! À toi de jouer !

2b - Tu peux remarquer < P, f(Q) > = < f(Q), P > car phi est symétrique, tu peux donc prouver simplement l'égalité comme tu l'as décrit en utilisant le résultat de la question précédente.

Bon courage et bonne année

Bonsoir Monsieur,
Bonne année !! [smiley]https://2img.net/i/fa/i/smiles/icon_cheers.png[/smiley][smiley]https://2img.net/i/fa/i/smiles/fresse.png[/smiley] Avez-vous passé de bonnes fêtes ?
Pour ma part j'ai plusieurs questions sur ce DM :

I,5 - Le fait que 0 appartiennent au spectre de fn nous renseigne sur le rang et le noyau de fn - lambda*id avec lambda une valeur propre de fn, comment faire le lien entre ce rang et ce noyau avec ceux de fn seulement ?

I,6 - On sait que deg(fn(P)) = n+1 et deg(P) =< n+1, je ne vois pas ces informations peuvent nous être utiles pour répondre à la question.

I,7 - A vrais dires, je ne comprends pas bien la question, Pk un polynôme unitaire veut dire que Pk=X^k ? Comment le déterminer ? (on en a besoin pour les questions II,2c et II,3)

II,1 - Montrer que phi définit un produit scalaire est plutôt simple, cependant pour la positivité, les bornes de l'intégrale me dérangent : nous avons une borne négative. Comment montrer que l'intégrale complète est positive ? Peut-être le changement de variable u=t+1...

Merci d'avance !

Bonjour

Bonne année à vous

* I.5 : Ce qui est utile ici, c'est que Ker(fn)=E0(fn) si 0 est valeur propre de fn. Donc, il faut se demander si 0 est valeur propre, et si oui, quelle est la dimension du sous-espace propre associé ?

* I.6 : On considère un vecteur propre P associé à la valeur propre lambda_k, on pose p=deg(P) et on fn(P)=lambda_k.P. Grâce à cette égalité et en raisonnant sur les termes de plus haut degré, on arrive à montrer que k=p, courage

* I.7 : Pk est un polynôme unitaire de degré k signifie que son terme de plus haut degré est X^k, mais il peut y avoir d'autres termes. Il faut aller regarder du côté de la dimension du sous-espace propre E_lambda_k.

* II.1 : Le fait qu'une borne soit négative ne change rien, tu intègres une fonction positive sur un intervalle [a,b], quelques soient les valeurs de a et de b, cela reste positif.

* II.2a : entièrement d'accord avec la réponse d'Adam (et merci), on peut même ne pas séparer en deux intégrales.

* II.2b : il faut effectivement utiliser le résultat précédent.

N'hésitez pas si vous bloquez, bon courage !

Bonsoir Monsieur,

Merci pour vos réponses, j'ai encore quelques questions sur ce fameux DM, en espérant qu'il n'est pas trop tard...

II.2c - Pour tout i et j appartenant à [0,n], (Pk) est une famille orthogonale si pour i # j < Pi, Pj > = 0. Elle est vraie pour les polynômes trouvés en question I.8. Comment montrer que cette propriété est vrai pour n'importe quel k ?

II.3a - Je vous avoue ne pas savoir par quoi commencer pour répondre à cette question, un indice ?

II.3b - Je souhaitais utiliser le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt pour trouver une base orthonormale de R1[X] puis en déduire le projeté orthogonal de X^2 par la somme. Je pense qu'il y a une autre méthode beaucoup plus simple : en utilisant une base orthogonale de R1[X], on a le projeté appartenant à R1[X] et X^2 - p(X^2) appartenant à R1[X] orthogonal.
Quelle méthode utiliser ?
Si c'est la deuxième, pouvez-vous expliquer comment trouver le projeté orthogonal?
Si c'est aucun des deux, pouvez-vous nous donner un petit indice sur la méthode à suivre ?

Merci d'avance et bonne soirée !

Envoyé depuis l'appli Topic'it

Bonjour,

C'est effectivement un peu tard, la veille de la rentrée après deux semaines de coupure...
.
On en reparle à la correction mais en attendant quelques éléments de réponse :

* II.2(c) : il faut utiliser le résultat de la question précédente (comme souvent ) et le fait que ces polynômes sont des vecteurs propres pour f.

* II.3(a) : On peut utiliser que (P_0, ...,P_{k-1}) est une base de R_{k-1}[X]

* II.3(b) : on dispose déjà d'une BON de R1[X] avec les vecteurs (Pk) qui forment une base orthogonale, il reste alors à les "normaliser". La première méthode que tu proposes semble donc tout indiquée.

Bon après-midi